51nod 1244 莫比乌斯函数之和(杜教筛)-白红宇

51nod 1244 莫比乌斯函数之和(杜教筛)

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发布时间：2019-06-28

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莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下：

如果一个数包含平方因子，那么miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。

如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，那么miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。

给出一个区间[a,b]，S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + ...... miu(b)。

例如：S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)

= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。

Input

输入包括两个数a, b，中间用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)

Output

输出S(a, b)。

Input示例

3 10

Output示例

-1

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杜教筛裸题

$\sum_{i=1}^{n}\mu(i) = 1 - \sum_{d=2}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(i)$

#include
        
         #include
         #define LL long long using namespace std;const int MAXN=5000030;int limit=5000000,tot=0,vis[MAXN],prime[MAXN];LL N,mu[MAXN];void GetMu(){    vis[1]=1;mu[1]=1;    for(int i=1;i<=limit;i++)    {        if(!vis[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1;        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=limit;j++)        {            vis[i*prime[j]]=true;            if(i%prime[j]==0) {mu[i*prime[j]]=0;break;}            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];        }    }    for(int i=1;i<=limit;i++) mu[i]+=mu[i-1];}map
          
           Amu;LL SolveMu(LL n){    if(n<=limit) return mu[n];    if(Amu.count(n)) return Amu[n];    LL tmp=1,nxt;    for(LL i=2;i<=n;i=nxt+1)    {        nxt=n/(n/i);        tmp-=(nxt-i+1)*SolveMu(n/i);    }    return Amu[n]=tmp;}int main(){    GetMu();    LL a,b;    scanf("%lld%lld",&a,&b);    printf("%lld",SolveMu(b)-SolveMu(a-1));    return 0;}

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